Dei tanti aspetti oscuri dei fatti dell'undici settembre, il crollo delle torri gemelle è , a mente fredda, valutandolo 5 anni più tardi, quello più sbalorditivo.Nel crollo delle torri due sono i quesiti fondamentali. Quale energia può avere polverizzato in quel modo le torri e come possono essere cadute in un tempo così breve. Vorrei qui analizzare questo secondo aspetto.

Le versioni ufficiali della comissione 9-11 governativa e della FEMA (del 2002) sostengono che le torri sono crollate a causa di un effetto-pancake (sostenzialmente dicono che staccatisi i primi piani a causa dell'impatto dell'aereo e incendi, questi hanno via via travolto quelli sottostanti). L'ultimo  rapporto NIST (2005 e correzioni del 2006) nega questo effetto senza dare una plausibile giustificazione salvo poi suggerire un qualche tipo di effetto valanga (da notare l'errore grossolano di confrontare una quantità di moto con una forza!) causato dall'impatto dell'aero e dagli incendi sviluppatisi in seguito.

Dal report del NIST si legge ...
In other words, the momentum (which equals mass times velocity) of the 12 to 28 stories (WTC 1 and WTC 2, respectively) falling on the supporting structure below (which was designed to support only the static weight of the floors above and not any dynamic effects due to the downward momentum) so greatly exceeded the strength capacity of the structure below that it (the structure below) was unable to stop or even to slow the falling mass. The downward momentum felt by each successive lower floor was even larger due to the increasing mass.

Tralasciamo qui di considerare il crollo del WTC7 e concentriamoci sulle Twin Towers. Dai video disponibili si può constatare che la torre sud è crollata in un tempo che va da 10 a 15 secondi circa (incertezza che deriva dalla nuvola di polvere che nasconde l'ultima fase). Prendiamo come riferimento 12,5 s e vediamo come questo tempo sia assolutamente incompatibile con teorie del tipo "pancake" o a valanga.

The height of the South Tower is 1362 feet. I calculated that from that height, freefall in a vacuum (read, absolutely no resistance on earth) is 9.2 seconds. According to testimony provided to the 9-11 Commission, the tower fell in 10 seconds. Other data shows it took closer to 14 seconds. So the towers fell within 0.8-4.8 seconds of freefall in a vacuum. Just like WTC7, this speed seemed impossible if each of the 110 floors had to fail individually.
As I was considering this, another problem arose. There is a principle in physics called the Law of Conservation of Energy. There is also the Law of Conservation of Momentum.

Il paragrafo sopra riportato di un articolo http://www.physics911.net/closerlook.htm  di Dave Heller mi ha fatto riflettere e fare alcune considerazioni che esporrò dopo avere richiamato alcuni concetti fondamentali di fisica.

Brevi richiami di fisica generale.
Il moto di un punto materiale è descritto da una funzione x(t), la velocità è la derivata prima nel tempo e l'accelerazione è la derivata seconda nel tempo. L'equazione del moto è data dal secondo principio di Newton F=ma, dove F è la forza, m la massa, e a l'accelerazione. Conoscendo la forma esplicita di F la posizione e la velocità iniziale e integrando due volte nel tempo si ottiene la legge oraria del moto.
Nel caso di caduta di un grave nel vuoto, la forza è costante (per distanze da terra molto piccole confronto il raggio terrestre) vale m*g, dove g è l'accelerazione di gravità (circa 9,81 m/s^2)
l'equazione è mg = ma e integrando ponendo x0 = 410 metri (altezza della torre) e v0 = 0 (velocità iniziale) si ottiene
x(t) = x0 - 0.5+g*t^2,
risolvendo rispetto al tempo e ponendo x=0 la posizione finale si ottiene
t = sqrt(2*x0/g)
da cui t =9,2secondi circa  (dove sqrt è radice quardata di)
Ovvero un grave nel vuoto fatto cadere dalla cima della torre (senza resistenza dell'aria) impiega (impiegava) circa 9,2 secondi a toccare terra.

La Quantità di Moto è
q = m*v
Questa grandezza è un invariante del moto se la risultante delle forze esterne è 0 come si evince
da F = ma -> 0=m*(dv/dt) -> 0=d(m*v)/dt cioè è invariante rispetto al tempo.
Questo teorema (conservazione della quantità di moto) rimane vero anche per forze diverse da 0 ma non impulsive (come la forza di gravità) in un intervallo di tempo dt->0.

Il Modello di Torre più semplice.
Supponiamo, ora, di avere una torre di 410 metri costituita da 110 piani, con una struttura portante priva di resistenza!
Ovvero una pila di punti materiali di massa uguale m tutti distanti d= 410/110 l'uno dall'altro sospesi nel vuoto soggetti alla forza di gravità solo quando questi vengono urtati dal piano superiore. Supponiamo che il piano superiore per qualche motivo si stacchi e che gli urti tra i vari punti  materiali siano anelastici (i piani diventano un sol corpo dopo l'urto) e istantanei . Tra un urto e l'altro l'equazione del moto è quella di grave nel vuoto con velocità iniziale v(0) diversa da 0.
Questo modello è il "più favorevole" alla Versione Ufficiale non essendoci resistenza nè dell'aria nè della struttura portante!

Ad ogni urto (diciamo l'n-esimo) però per la conservazione della quantità di moto (m*v) si ha

n*m*vf (finale del passo n) = n*m*vi (velocità iniziale passo n+1) + m*vi         *
da cui
vi=(n/n+1)vf
cioè ad ogni urto la velocità si riduce (solo per il trasferimento della quantità di moto) di un fattore n/(n+1)

Per l'ennesimo passo l'equazione risolta rispetto al tempo è
t = ( sqrt( vi*vi + 2 * d * g ) - vi ) / g ;

dove vi è la velocità iniziale al passo n
d è la distanza tra i piani d =410/110 metri

Al passo successivo la velocità sarà 
(n/n+1)*vi + g*t

iterando 110 volte e partendo con v iniziale = 0 si ottengono (con un banale programma o mettendo la formula in un foglio excel) tutti i tempi t di percorrenza dei 110 piani e sommandoli si ottiene
un tempo complessivo di crollo pari a 14,89 secondi! tempo superiore (o al massimo pari a quello osservato del crollo della torre sud )

Conclusione
Anche in modello di torre ultra semplificato senza tener conto della struttura stessa della torre e senza tener conto di cosa abbia dato inizio al crollo, una dinamica di crollo di tipo "a valanga" è incompatibile con il tempo di crollo che si può misurare dal video. A meno che gli urti non avvengano, ovvero i piani inizino a crollare prima che il piano superiore urti il piano inferiore: ma ciò è incompatibile con la Versione Ufficiale che vuole il crollo dovuto essenzialmente all'impatto dell'aereo e agli incendi. La versione (o le versioni) ufficiale si preoccupa di dare un spiegazione plausibile per l'uomo della strada, facendo affidamento sull'ignoranza scientifica diffusa.

Insomma pare che i terroristi oltre a farsi beffe di tutto l'apparato difensivo della prima potenza militare mondiale, siano riusciti anche a sospendere le leggi fondamentali della fisica!

NOTE. In rete poi ho trovato molto siti che fanno calcoli simili introducendo anche modelli più complessi che portano ad allungare sempre di più il tempo di crollo. Ad esempio qui

Il NIST è il National Institute of Standards and Technology
la FEMA è la Federal Emergency Management Agency